ما هي الأعداد الأولية ؟

الأعداد الأولية تمثل مفهوماً أساسياً في علم الرياضيات، حيث تُعرَّف على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة التي تكبر من العدد واحد، وتتميز بقابليتها للقسمة على عددين فقط، وهما العدد نفسه والواحد، دون أن يكون لها أي باقٍ. تُعد الأعداد الأولية جزءًا أساسيًا من تحليل الأعداد وعديد من فروع الرياضيات الأخرى.

تاريخياً، كانت دراسة الأعداد الأولية تشكل محوراً هاماً في تطور الرياضيات، وكانت مصدر إلهام للعديد من الرياضيين والعلماء. فمنذ العصور القديمة، كان الناس يهتمون بفهم خصائص هذه الأعداد واكتشافها، ومن أبرز الشخصيات التي ساهمت في دراسة الأعداد الأولية الكبيرة أرشيميدس وإقليدس وأوكليدس.

تمتاز الأعداد الأولية بخصائص فريدة تجعلها محور اهتمام العديد من الباحثين والعلماء. فهي تشكل أساساً للعديد من التقنيات الحديثة في علوم الرياضيات وتطبيقاتها، مثل التشفير وأمن المعلومات والعلوم الحاسوبية.

خصائص الأعداد الأوليّة

تتميز الأعداد الأولية بخصائص فريدة تجعلها موضوع اهتمام في علم الرياضيات. أحد هذه الخصائص هو أن جميع الأعداد الأولية، باستثناء الرقم 2، هي فردية، مما يعني أنها لا تقبل القسمة على أي عدد سوى الواحد ونفسها.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعبير أي عدد صحيح يزيد عن 3 كنتيجة لمجموع عددين أوليين. ومن الملاحظ أن الأعداد الأولية المتتالية الوحيدة هي 2 و3. هذا يعني أنه يمكن تجسيد أي عدد صحيح يتجاوز الرقم 3 على هيئة مجموع لعددين أوليين.

بالنسبة للأعداد الصحيحة، فإنها إما أعداد أولية أو مركبة، باستثناء الأرقام 0 و1. ويعني ذلك أن كل عدد صحيح يمكن تصنيفه إلى الفئة الأولية أو الفئة المركبة باستثناء هذين الرقمين.

أقرأ أيضا: عزل اسطح بالرياض

علاوة على ذلك، فإن أي عدد ينتهي بإحدى الأرقام 5 أو 0، مثل 25 أو 30، لا يمكن أن يكون أولياً. وهذا يتلاءم مع قاعدة القسمة التي تفرض أن أي عدد ينتهي بأحد هذين الرقمين لن يكون أولياً.

أخيرًا، يمكن التعرف على عدد كونه غير أولي إذا كان مجموع الأرقام التي يتألف منها عبارة عن مضاعفات للعدد 3. إذا كان العدد يمكن تمثيله على هذا النحو، فإنه لن يكون أولياً.

طريقة تحديد الأعداد الأوليّة

يمكن تحديد الأعداد الأولية بواسطة عدة طرق، ومنها طريقة التمييز بين الأعداد الأولية والأعداد المركبة. العدد المركب يتميز بأنه يقبل القسمة على عدد أولي يقل أو يساوي جذره، دون باقٍ. على سبيل المثال، إذا كان العدد n مركبًا، فإنه يمكن قسمه دون باقٍ على أحد الأعداد الأولية التي تقل أو تساوي

أما بالنسبة للعدد الأولي، في حال عدم إمكانية قسم العدد المركب دون باقٍ على أحد الأعداد الأولية التي تقل أو تساوي n فإن ذلك يدل على أن العدد هو أولي. على سبيل المثال العدد 23 لا يمكن قسمه دون باقٍ على أي عدد أولي يقل أو يساوي 23 وبالتالي يُثبت أنه أولي.

أقرأ أيضا: تنظيف خزانات المياه بالرياض

طريقة التحليل إلى العوامل توفر وسيلة بسيطة وسريعة لتحديد ما إذا كان العدد أوليًا. تتضمن هذه الطريقة البحث عن الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد المراد تحليله إلى عوامله، وذلك باستخدام النظرية السابقة أو بالتخمين.

لتوضيح الفكرة، دعونا نأخذ العدد 15 كمثال. سنجد أن 3 و 5 هما العوامل التي يساوي حاصل ضربهما 15. وبالتالي، يُعتبر العدد 15 عددًا مركبًا وليس أوليًا؛ لأنه يمكن قسمه دون باقٍ على هذين العددين.

أمثلة حول الأعداد الأوليّة والمُركَّبة

فيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية للأعداد الأولية والأعداد المركبة:

• المثال الأول: لماذا تعتبر الأعداد (29،13،7،5) أعدادًا أولية؟
  جميع هذه الأعداد تمتاز بقابليتها للقسمة على نفسها وعلى العدد واحد فقط.
• المثال الثاني: ما هي الأعداد الأولية التي أصغر من العدد 100؟
  أصغر الأعداد الأولية التي تقل عن 100 هي: (97، 89، 83، 79، 73، 71، 67، 61، 59، 53، 47، 43، 41، 37، 31، 29، 23، 19، 17، 13، 11، 7، 5، 3، 2).
• المثال الثالث: هل الأعداد (73، 10، 8، 53، 19، 119) أولية أم مركبة؟
  العدد 8 هو عدد مركب لأنه يمكن تقسيمه إلى 2 × 4.
  العدد 73 هو عدد أولي لأنه لا يمكن قسمه إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ.
  العدد 10 هو عدد مركب لأنه يمكن تقسيمه إلى 2 × 5.
  العدد 19 هو عدد أولي لأنه لا يمكن قسمه إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ.
  العدد 53 هو عدد أولي لأنه لا يمكن قسمه إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ.
  العدد 119 هو عدد مركب لأنه يمكن تقسيمه إلى 17 × 7.

أقرأ أيضا: عزل فوم بالرياض

• المثال الرابع: ما هي الأعداد الأولية بين (50-59) و(40-49)؟
  الأعداد الأولية الموجودة بين (50-59) هي: 53 و 59، لأنهما لا يقبلان القسمة إلا على أنفسهما وعلى العدد 1.
  الأعداد الأولية الموجودة بين (40-49) هي: 43 و 41 و 47، لأنها لا تقبل القسمة إلا على أنفسها وعلى العدد 1.